倍音と音色 — 同じ「ド」がなぜ違って聞こえるのか
ピアノとフルートが同じ「ド」を弾いても、まったく違う音に聞こえます。その正体は、基音の上に重なる倍音のブレンドの違い — つまりスペクトルの形。8本のスライダーで自分だけの音色を作りながら確かめます。
1. 倍音とは — 基音の整数倍の家族
楽器の弦や空気柱が振動するとき、実は1つの周波数だけが鳴っているのではありません。いちばん低い基音 f₀ と同時に、その整数倍の周波数 2f₀, 3f₀, … が一緒に鳴っています。これが倍音です。
- 基音 f₀ — 音の「高さ」を決める。ドに聞こえるかミに聞こえるかはここで決まる。
- 倍音 2f₀, 3f₀, … — それぞれの混ぜ具合が音の「色」＝音色を決める。
fn = n × f₀
基音が 220 Hz なら、倍音は 440, 660, 880, 1100 … Hz にきれいに並ぶ
倍音ミキサー — 8本のスライダーで音色を作る
上＝合成された波形、下＝いま作った音のスペクトル（オレンジ＝基音）。基音だけ（他を0）にするときれいなサイン波、倍音を足すほど波形が複雑になります。波形は見やすいよう高さを自動調整しています。
POINT — 高さは基音、音色は倍音バランス
スライダーをどう動かしても、基音が同じなら音の高さは同じに聞こえる。変わるのは音色だけ。つまり 音色 ＝ スペクトルの形。「ドの音」という情報は基音が、「ピアノらしさ」は倍音の配合が担っている。
2. サイン波を積み上げて波形を作る — フーリエ級数
倍音を「決まったレシピ」で足していくと、驚くことに角ばった波形さえ作れます。のこぎり波・矩形波・三角波を選んで、項数を増やしながら目標の形に近づいていく様子を見てください。
のこぎり波 = (2/π) ( sin θ − sin 2θ / 2 + sin 3θ / 3 − … )
「n番目の倍音を 1/n の量で交互の符号で混ぜる」というレシピ。無限に足すと完全なのこぎり波になる
フーリエ級数 — サイン波だけで角ばった波形を組み立てる
灰色＝目標の波形、水色（薄）＝レシピの各項のサイン波、オレンジ＝そこまで足した結果。項数を1から少しずつ増やすと、丸い波がだんだん角ばっていきます。
注意 — 角のそばの「ツノ」は消えない（ギブス現象）
項数を増やすほど全体は目標に近づくが、のこぎり波や矩形波のジャンプの近くには高さ約9%のツノ（オーバーシュート）がいつまでも残る。これはギブス現象と呼ばれる、有限項近似の宿命。デモで項数を最大にして角を観察してみよう。
3. 楽器の指紋 — 倍音構成を見比べる
実際の楽器は、それぞれ特徴的な倍音の配合を持っています。ボタンで3つの楽器風の音を切り替えて、倍音バーの形と波形が連動して変わるのを確かめてください。どれも基音は同じ＝同じ高さの音です。
楽器の音色比較 — 倍音の配合が波形を決める
左＝倍音の量（オレンジ＝基音）、右＝その配合で合成した波形。フルートはほぼ基音だけ、バイオリンは倍音がぎっしり、クラリネットは奇数番（1・3・5・7）の倍音だけが強いのが指紋です。※実際の楽器を単純化した合成データ。
4. まとめ
- 基音 f₀ が音の高さを、倍音（整数倍の成分）の配合が音色を決める。
- 音色の正体はスペクトルの形。同じ「ド」でも楽器ごとにスペクトルという指紋が違う。
- 倍音を決まったレシピで足すと、のこぎり波や矩形波のような角ばった波形さえ作れる（フーリエ級数）。
- ただし有限個の和ではジャンプのそばにツノが残る（ギブス現象）。
一歩先へ — 音色は「時間変化」でも決まる
本物の楽器の音色は、倍音の配合に加えて立ち上がり方（アタック）や減衰など時間変化にも大きく左右される。ピアノの録音を逆再生すると別の楽器に聞こえるのはこのため。スペクトルが時間とともにどう動くかを見る道具はレッスン07のスペクトログラム、そして分解そのものを数学として厳密に行う方法が次のレッスン05・フーリエ変換だ。