窓関数 — スペクトル漏れを手なずける

DFT の前に信号へそっと掛け算する「窓」。たったそれだけの前処理が、スペクトルの見え方を劇的に変えます。漏れ（スペクトルリーク）が生まれる理由と、窓の形が決めるメインローブ幅 ⇔ サイドローブ抑圧のトレードオフを、動かしながら確かめます。

1. 切り取るだけで嘘が混ざる — スペクトル漏れ

DFT は「渡された N 点の区間が、無限に繰り返される周期信号だ」と仮定して計算します。連続する正弦波から一部分を矩形に切り出したとき、区間の端と端の値が一致していなければ、繰り返しのつなぎ目に存在しないはずの「段差」が生まれます。この段差は鋭いクリック音と同じで、あらゆる周波数に成分をまき散らします — これがスペクトル漏れです。

下のデモで切り出し位置と窓内の周期数を動かしてみてください。周期数がちょうど整数のときだけ、段差が消えて漏れがなくなります。

なぜ漏れるか — 切り出しの「段差」がサイドローブを立てる
上段＝連続正弦波と切り出し区間（矩形）。中段＝DFTが仮定する周期化。つなぎ目の赤い段差に注目。下段＝そのスペクトル（対数）。周期数を 6.5 のような非整数にすると、本来1本の線であるはずのスペクトルの裾が広がり、サイドローブが立ちます。「ハン窓を掛けてみる」をオンにすると端が絞られて段差が消え、裾が急降下します。
|W(f)| = |sin(Nπf) / sin(πf)| 矩形窓のスペクトル（ディリクレ核）。最初のサイドローブはメインローブから約 −13 dB しか下がらない
POINT — 漏れの正体は「勝手な周期化」 漏れは信号のせいではなく、切り出した区間が周期的に続くと DFT が仮定することから生まれる。窓内にぴったり整数周期が収まれば漏れはゼロ。しかし実際の信号でそれを保証することはできないので、端をなだらかに0へ絞る窓関数で段差そのものを消す。

2. 端をなだらかに絞る — 窓関数ギャラリー

窓関数は「切り出し方の形」です。矩形窓（＝何もしない）に対して、ハン窓・ハミング窓・ブラックマン窓は端に向かって振幅を滑らかに絞ります。するとサイドローブ（裾の偽ピーク）は大きく下がる代わりに、メインローブ（本物のピーク）の幅が太くなります。

窓関数ギャラリー — 形とスペクトルの対応
上段＝窓の形（紫）と窓掛け後の波形（水色）。下段＝窓自体の対数スペクトル。矩形→ブラックマンの順にサイドローブ（点線の高さ）が −13 → −58 dB へ下がる代わりに、メインローブ（青い帯）が 2 → 6 bin へ太っていきます。
w[n] = 0.5 − 0.5 cos( 2πn / (N−1) ) ハン窓。コサインを1個持ち上げただけの形が、STFT・スペクトログラムの世界標準
注意 — 窓はタダではない 窓を掛けると信号の端を捨てるぶん実効的な観測時間が短くなり、メインローブが太る＝周波数分解能が下がる。さらに全体の振幅も変わる（コヒーレントゲイン）。「サイドローブを下げたいから常に強い窓」ではなく、目的に応じた最小限の窓を選ぶのが基本。

3. 近接した2つの音を見分けられるか — 分離チャレンジ

窓選びが実際に効く場面を試します。周波数がわずかに違う2つの正弦波を同時に鳴らし、スペクトルで2本のピークとして分離できるかを見ます。

近接2周波数の分離チャレンジ
緑・ピンクの点線＝2音の本当の周波数。Δf を 1 bin 前後まで詰めると、どの窓でも山が融合します（ハン窓は矩形より早く融合）。次に「音2の大きさ」を −30 dB にしてみてください — 矩形窓ではサイドローブの海に沈み、ハン窓・ブラックマン窓で初めて顔を出します。

4. どの窓を使えばいいか

窓メインローブ幅
(null-null, bin)		最大サイドローブ向いている場面
矩形2（最も細い）−13 dB整数周期が保証されるとき／過渡信号（インパルス応答など）をそのまま見るとき
ハン4−31 dB迷ったらこれ。STFT・スペクトログラムの定番。オーバーラップ合成とも相性が良い
ハミング4−43 dB第1サイドローブを深く抑えたいとき。音声分析の伝統的定番
ブラックマン6−58 dB強い成分のすぐ近くの微弱な成分を探すとき（高調波・スプリアス測定）
一歩先へ — トレードオフを連続的に調整する カイザー窓はパラメータ β を回すだけで「矩形寄り ⇔ ブラックマン寄り」を連続的に選べる万能窓。また振幅を正確に測りたい校正用途では、ピーク付近が平らなフラットトップ窓が使われる。窓設計は次のレッスンの FIR フィルタ設計（窓関数法）とも直結している。