ピッチ検出 — 声の高さを機械で言い当てる

「ド」なのか「ソ」なのか、男声なのか女声なのか — 声の高さの正体は波形の繰り返しの周期です。信号を自分自身とずらして重ねる自己相関、スペクトルの櫛の間隔を測るケプストラム。2大古典手法と、その落とし穴（オクターブエラー）まで動かして確かめます。

1. ピッチ＝繰り返しの周期

母音を発声しているとき、声帯は一定周期で開閉し、波形はほぼ同じ形を繰り返します。この繰り返しの速さが基本周波数 f₀（おおよそ男声 80〜160 Hz、女声 160〜300 Hz）。倍音がどれだけ乗っていても、波形全体の繰り返し周期 T は 1/f₀ のまま — だからピッチ検出とは「T を見つける問題」です。

では、波形のどこからどこまでが「1回分」かを機械はどう見つけるのか。一番素直なアイデアが自己相関です。

2. 自己相関 — 自分をずらして重ねてみる

信号のコピーを時間 τ（ラグ）だけずらし、元の信号とどれだけ一致するかを掛け算の総和で測ります。τ がちょうど周期 T の整数倍になった瞬間、コピーは元の波形にぴったり重なり、一致度（相関値）が跳ね上がります。

自己相関の直感 — ずらして重ねて、一致度を測る

ラグ τ

上段: 元の信号（水色）と τ だけずらしたコピー（オレンジ）。右のメーターが一致度 r(τ)。下段: 動かした τ の範囲だけ ACF 曲線が描き足されていきます。τ = 8 ms でコピーが完全に重なり、最初の大きなピーク＝周期 T（→ f₀ = 125 Hz）。16 ms（2T）にもピークがあることに注目。

r(τ) = Σ_n x(n) · x(n + τ) τ = 0 で最大。最初の大きなピークの位置が周期 T、その逆数 1/T が f₀

POINT — 「最初の大きなピーク」を探す ACF は τ = T だけでなく 2T, 3T… にもピークを持つ（2周期ずらしても重なるから）。欲しいのはτ = 0 の自明なピークを除いた、最初の大きなピーク。この「どのピークを選ぶか」が次のオクターブエラー問題につながる。

3. 推定してみる — そして落とし穴

ACF のピークを自動で拾えばピッチ推定器の完成です。下のデモでは探索範囲 80〜400 Hz の中で最大のピークを選んでいます。まずは f₀ スライダーを動かして、推定値が正解に追従することを確認してください。次に「かすれ声モード」ボタンを押すと…。

ピッチ推定デモ — 正解と比べる／オクターブエラーを起こす

真の f₀

上段: 波形。下段: ACF（薄い帯＝探索範囲、白カーソルが探索して赤/緑マーカーで確定）。かすれ声モードでは1周期おきに振幅が揺れる（周期倍加）ため 2T のピークが T を追い越し、推定が1オクターブ下に転落します — これがオクターブエラー（f₀ が 160 Hz 以上のとき。それ未満では 2T が探索範囲の外に出るため助かる — 探索範囲の制限も立派な対策のひとつ）。

注意 — オクターブエラーはピッチ検出の宿命 ACF にとって「T で繰り返す信号」は「2T でも繰り返す信号」でもある。かすれ声・こもった声・強い倍音などわずかな崩れで、推定は簡単に半分（オクターブ下）や2倍（オクターブ上）へ飛ぶ。単純な最大値選びではなく「十分良い最初の候補を選ぶ」戦略が必要になる。

4. ケプストラム法 — スペクトルの櫛の間隔を測る

視点を周波数側に移すと、周期信号のスペクトルは f₀ 間隔の櫛（倍音列）です。log を取ると、log スペクトルは「周波数軸上で周期 f₀ の波打ち」＋「ゆるやかな包絡」の足し算になります。

波打ちの周期を測りたければ、もう一度フーリエ変換すればいい。log スペクトルを逆フーリエ変換したものがケプストラム（cepstrum）、その横軸はケフレンシー（quefrency、単位は時間）。倍音の櫛はケフレンシー 1/f₀ の鋭いピークとして現れます。

ケプストラム法 — スペクトル → log → もう一度変換

f₀

上段: スペクトル（f₀ 間隔の櫛）。中段: log スペクトル＝「速い波打ち（ピッチ）＋ゆるい起伏（声道）」。下段: その逆変換＝ケプストラム。左端の塊が声道（包絡）成分、点滅しているピークのケフレンシーがちょうど 1/f₀。スライダーで f₀ を上げると櫛が広がり、ピークが左（短い周期）へ動きます。

c(q) = IDFT( log |X(f)| ) q はケフレンシー［秒］。ピッチはピーク位置 q* から f₀ = 1/q*。MFCC（前レッスン）と同じ「log で積を和にほどく」発想

5. 現代の手法 — YIN、そしてニューラルへ

ACF 法: 素直で高速。オクターブエラーと窓長の選択が課題。
ケプストラム法: 声道（包絡）とピッチを分離できるのが強み。低い f₀ には長い窓が必要。
YIN (2002): ACF の親戚である差分関数を累積平均で正規化し、「最大のピーク」ではなくしきい値を最初に下回る谷を選ぶことでオクターブエラーを大幅に削減。今も広く使われる定番。
ニューラル系: CREPE や pYIN+DNN 系は波形やスペクトログラムから直接 f₀ を分類・回帰し、雑音下や歌声でも頑健。

一歩先へ — YIN の2つの工夫 ① 相関の代わりに差分 d(τ) = Σ(x(n) − x(n+τ))² を使い、②「d の累積平均で割る」正規化（CMNDF）で τ が小さいほど有利になる偏りを打ち消す。そのうえで絶対しきい値（例 0.1）を最初に下回る谷を採用 — 「一番深い谷」ではなく「十分深い最初の谷」を選ぶ、というピーク選択規則の転換こそが本質。

6. まとめ

ピッチ検出＝波形の繰り返し周期 T を見つける問題。f₀ = 1/T。
自己相関: ずらして重ねて一致度を測る。最初の大ピーク＝周期。ただし 2T, 3T… にもピーク。
オクターブエラー: 声のわずかな崩れで推定が1オクターブ飛ぶ。ピークの「選び方」が肝心（YIN）。
ケプストラム: log スペクトルをもう一度変換。ケフレンシー軸のピーク＝1/f₀。