カメラと幾何 — 3D世界が2D画像になる数理

カメラは「3次元の世界を2次元の平面に写す装置」です。この写像は驚くほど単純な幾何で記述でき、最終的には x ≃ K[R|t]X というひとつの式にまとまります。ピンホールから消失点、そして行列表現まで、投影のしくみを順に組み立てます。

1. すべての原点 — ピンホールカメラ

レンズを持たない最古のカメラがピンホールカメラです。箱に開けた針穴（ピンホール）を通る光だけが像面（フィルム／センサ）に届きます。シーン上の各点から出た光のうち、穴を通る1本の光線だけが選ばれるため、像面には幾何学的に整った倒立像が結ばれます。

穴から像面までの距離が焦点距離 f です。下のデモで f を動かすと、像の大きさと画角（写る範囲の角度）が連動して変わることを確かめてください。

ピンホールカメラ断面図 — 光線が倒立像を結ぶ

焦点距離 f

各点から出た光は針穴を直進して像面に届くため、上下（と左右）が反転した倒立像になります。f を大きくすると像は拡大されますが、視野の角度（水色の扇形）が狭まり、木の頭がセンサからはみ出します — 望遠レンズで画角が狭くなるのと同じ原理です。

相似三角形に注目すると、高さ Y・距離 Z にある点の像の高さ y′ はすぐに求まります。

y′ = f · Y / Z 像の大きさは焦点距離 f に比例し、距離 Z に反比例する — 「遠いものは小さく写る」の正体

画角 θ = 2 · atan( w / 2f ) w はセンサの幅。f を伸ばすと θ が狭まる（望遠）、縮めると広がる（広角）

POINT — 焦点距離は「ズーム」の数理スマホの広角 24mm・望遠 120mm という表記は焦点距離のこと。f を変える＝像の拡大率と画角を同時に変える操作であり、像面上ではすべての像が f に比例して一様に拡大縮小される。

2. 透視投影が生む遠近感 — 消失点と地平線

y′ = fY/Z の「Z で割る」という操作を透視投影と呼びます。この割り算こそが、私たちの知る遠近感のすべてを生み出します。

遠いものほど小さい：同じ大きさでも Z が2倍なら像は半分。
平行線は1点に収束する：奥へ延びる平行線の像は、無限遠に対応する消失点で交わる。
地平線：地面上のあらゆる方向の消失点が並んだ線。カメラの姿勢だけで位置が決まる。

透視投影の性質 — 等間隔の街灯と消失点

カメラの高さ

ピッチ角（下向き＋）

街灯は現実には9m間隔で等間隔・同じ高さですが、像の上では奥ほど小さく密になります。ピッチ角を変えると地平線ごと上下します。一方カメラの高さを変えても地平線は動きません（無限遠は高さの影響を受けない）— 動くのは手前の路面の見え方だけです。

POINT — 消失点はカメラ姿勢のセンサ奥行き方向（Z軸）と平行な直線の消失点は、カメラから見た Z 軸の方向だけで決まる。つまり画像から消失点・地平線を検出できれば、カメラの傾き（姿勢）を逆算できる。自動運転や建築写真の補正で実際に使われるテクニック。

3. 式でまとめる — x ≃ K[R|t]X

ここまでの話を行列でまとめます。世界座標系の3D点 X が画像上の点 x に写るまでは、2段階の変換です。

外部パラメータ [R|t] — 世界座標をカメラ座標へ。回転 R（3×3）と並進 t（3×1）で「カメラがどこにあり、どちらを向いているか」を表す。
内部パラメータ K — カメラ座標の3D点を画素座標へ。焦点距離 f（画素単位）と主点 (c_x, c_y)（光軸が像面を貫く位置、ほぼ画像中心）からなる3×3行列。

s · x = K [R | t] X X＝世界座標の3D点（同次座標4×1）、x＝画素座標（同次座標3×1）、s＝奥行きに相当するスケール。K[R|t] をまとめた3×4行列を「カメラ行列」と呼ぶ

下の操作盤で、内部パラメータ（f）と外部パラメータ（回転3軸・並進3軸）を別々に動かしてみてください。どのスライダーが行列のどの成分を動かすかが右側にリアルタイム表示されます。

内部・外部パラメータ操作盤 — 立方体の投影と K[R|t]

f（内部）

回転α X軸（外部）

回転β Y軸（外部）

回転γ Z軸（外部）

並進 t_x（外部）

並進 t_y（外部）

並進 t_z（外部）

f（オレンジ）は K の対角成分だけを変え、像を一様に拡大縮小します。回転（水色）は R を、並進（緑）は t を変えます。t_z（奥行き）を小さくすると近づいて大きく写りますが、f のズームとは歪み方が違う — 近づくと遠近感が強調され、ズームでは形が保たれることに注目。

注意 — 「近づく」と「ズームする」は別物どちらも像は大きくなるが、t_z を減らす（近づく）と手前と奥の比率 Z_近/Z_遠が変わり遠近感が誇張される。f を伸ばす（ズーム）だけなら比率は不変で、像は相似に拡大される。映画の「めまいショット」はこの2つを同時に逆方向へ動かす技法。

4. キャリブレーション — カメラの中身を測る

K[R|t] の式を実際に使うには、自分のカメラの K（fや主点の値）を知る必要があります。これを実測する作業がカメラキャリブレーション（校正）です。

定番の方法は、寸法が既知のチェッカーボードを様々な角度から撮影するもの。格子点の「本当の3D配置」と「画像上の位置」の対応をたくさん集め、投影の式を最もよく満たす K と各撮影の [R|t] を同時に逆算します。対応点から幾何を推定する — 前レッスンのマッチングと同じ発想がここでも主役です。

一歩先へ — 現実のレンズは歪む実際のカメラはピンホールではなくレンズなので、ピンホールモデルからのズレ＝レンズ歪みが生じる。代表は画像の端で直線が樽型／糸巻き型に曲がる半径方向歪みで、像の中心からの距離 r の多項式 (1 + k₁r² + k₂r⁴ …) で補正するのが定番。キャリブレーションでは K・[R|t] と一緒にこの歪み係数も推定し、補正後の画像を「理想のピンホール画像」として扱う。

5. まとめ

ピンホールカメラ：穴を通る光線が倒立像を結ぶ。像の高さは y′ = fY/Z。
透視投影：「Zで割る」が遠近感の正体。平行線は消失点に収束し、地平線はカメラ姿勢で決まる。
x ≃ K[R|t]X：内部パラメータ K（f・主点）と外部パラメータ [R|t]（位置・姿勢）で投影が完全に記述できる。
キャリブレーション：既知パターンとの対応から K と歪み係数を実測する。ステレオ視・3D復元（次レッスン以降）の前提となる。